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高三数学复习：求数列通项公式的常用方法

在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的检验，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键。

求数列通项公式常用以下几种方法：

一、题目已知或通过简单推理判断出是等比数列或等差数列，直接用其通项公式。

例：在数列{}中，若1=1，+1=+2(1)，求该数列的通项公式。

解：由+1=+2(1)及已知可推出数列{}为1=1，d=2的等差数列。所以=2-1。此类题主要是用等比、等差数列的定义判断，是较简单的基础小题。

二、已知数列的前项和，用公式

S1 (=1)

S-S-1 (2)

例：已知数列{}的前项和S=2-9，第k项满足5

(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

解：∵=S-S-1=2-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 选 (B)

此类题在解时要注意考虑=1的情况。

三、已知与S的关系时，通常用转化的方法，先求出S与的关系，再由上面的(二)方法求通项公式。

例：已知数列{}的前项和S满足=SS-1(2)，且1=-，求数列{}的通项公式。

解：∵=SS-1(2)，而=S-S-1，SS-1=S-S-1，两边同除以SS-1，得---=-1(2)，而-=-=-，∴{-} 是以-为首项，-1为公差的等差数列，∴-= -，S= -，

再用(二)的方法：当2时，=S-S-1=-，当=1时不适合此式，所以，

- (=1)

- (2)

四、用累加、累积的方法求通项公式

对于题中给出与+1、-1的递推式子，常用累加、累积的方法求通项公式。

例：设数列{}是首项为1的正项数列，且满足(+1)+12-2++1=0，求数列{}的通项公式

解：∵(+1)+12-2++1=0，可分解为[(+1)+1-](+1+)=0

又∵{}是首项为1的正项数列，∴+1+ ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,这-1个式子，将其相乘得：∴ -=-，

又∵1=1，∴=-(2)，∵=1也成立，∴=-(∈N*)

五、用构造数列方法求通项公式

题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有 (或S)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出(或S)与的关系，这是近一、二年的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{}中，1＝2，+1=(--1)(+2)，=1,2,3,……

(1)求{}通项公式 (2)略

解：由+1=(--1)(+2)得到+1--＝ (--1)(--)

∴{--}是首项为1--，公比为--1的等比数列。

由1＝2得--=(--1)-1(2--) ，于是=(--1)-1(2--)+-

又例：在数列{}中，1=2，+1=4-3+1(∈N*)，证明数列{-}是等比数列。

证明：本题即证+1-(+1)=q(-) (q为非0常数)

由+1=4-3+1，可变形为+1-(+1)=4(-)，又∵1-1=1，

所以数列{-}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求的通项公式，则仍可以通过求出{-}的通项公式，再转化到的通项公式上。

又例：设数列{}的首项1∈(0,1)，=-，=2，3，4……(1)求{}通项公式。(2)略

解：由=-，=2,3,4,……，整理为1-=--(1--1)，又1-1≠0，所以{1-}是首项为1-1，公比为--的等比数列，得=1-(1-1)(--)-1

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